Vamos a algumas explicações:
Ainda que os quadrados e os cubos perfeitos sejam raros, a fatoração de números
inteiros é muito útil para a simplificação de expressões que envolvem raízes.
Vamos a alguns exemplos para facilitar o entendimento sobre isso:
Mas aí você me pergunta, e se eu tiver um número que a raiz não é tão fácil de achar??
Existe um método para ajudar que se chama de método da aproximação!! Veja o exemplo da raiz quadrada de 2:
Método da Aproximação:
A raiz quadrada de 2 --> √2 significa que um número deve ser multiplicado por ele mesmo duas vezes para dar dois!
Mas não existe nenhum número inteiro que multiplicado por ele duas vezes dará dois! O menor número que conheço antes do 2 é o 1, e 1.1 = 1. Então 2 não tem raiz quadrada?
Errado! O 2 possui raiz quadrada sim, só que ele não é um número inteiro, e sim um número irracional! Ou seja, não será algo exato à dois, e sim aproximado, pois estamos tratando de números decimais (quebrados).
Então pense... Que número decimal pode estar entre 1 (menor que dois) e o dois? (pois queremos algum número que chegue perto de 2, não que o ultrapasse, por isso esse número deve estar entre 1 que é um número menor que dois, e o próprio dois).
0,1 é o primeiro número a saber pensando mas 0,1 é um número MUITO baixo com relação ao número dois, então partimos para o pensamento de algo maior como 1,0. Porém, 1,0 é o mesmo que escrever 1, e 1.1 como já visto dará 1, então o próximo a ser pensado é o 1,1!
Veja bem, se você multiplicar 1,1 por ele mesmo você terá o resultado de 1,21! Um número bem baixo quando queremos saber a raiz quadrada de 2, não? Então o que você deve fazer? Utilizar o método da aproximação para raízes de números primos(números primos são aqueles números que só são divisíveis por eles mesmos ou por 1)
Se 1,1² é um número baixo e não muito próximo à dois, como devemos proceder? Vamos aumentando o valor da última casa decimal, até encontrarmos o que queremos: 1,1² não é, então vamos fazer 1,2²: 1,44! Ainda é um valor muito baixo e estamos percebendo que multiplicar o número 1 com mais uma unidade na casa decimal não está sendo muito suscetivo, então a melhor saída é adicionar mais um casa decimal: 1,11² chegamos ao resultado de 1,2321! Melhorou, mas ainda não é o que precisamos, vamos aumentar mais um pouco! 1,21² = 1,4641! Ainda não...
Aumentaremos mais: 1,31² = 1,7161! Está mais perto mas ainda não é isso! 1,41² = 1,9881! Opa! Parece que agora estamos bem perto! E se tentarmos 1,42²!? Dará 2,0164! Um número um pouco maior que 2! E queremos a raiz quadrada de dois aproximadamente e não um número que ultrapasse 2, logo, o número mais próximo para ser raiz de 2 é 1,41: √2 ≅ 1,41
O mesmo pode ocorrer com as raízes de 3, de 5, 7, 11, 13 e etc... Pois todos eles são números primos. Quando se trata de números primos o único método existente para encontrar sua raiz, é utilizando o método da aproximação.
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